250036 VO Schulmathematik Arithmetik und Algebra (2023W)

Ziele: Möglichkeiten und Herausforderungen der Arithmetik und elementaren Algebra im Mathematikunterricht kennen und didaktische Implikationen daraus ableiten können.

Inhalte: Die Arithmetik ist wohl die Brücke im Mathematikunterricht von der Volksschule in die AHS. Sie wird dann bis in die letzte Schulstufe fortgesetzt, wenngleich nicht mehr unter diesem Namen. Das Rechnen mit natürlichen Zahlen ist neben der Geometrie die Grundlage der (Schul-)Mathematik, es verliert auch nicht an Bedeutung, wenn der Zahlenbereich erweitert wird. Diese Übergänge zu neuen Zahlenmengen
verdienen unsere besondere Beachtung: sie stellen nämlich in didaktischer Hinsicht Brüche in den (Grund-)Vorstellungen der Schüler(innen) dar, die zu Missverständnissen und Fehlern führen können. Daher wird in der Lehrveranstaltung diesen Zahlbereichserweiterungen besonderes Augenmerk geschenkt werden. Vor allem der Übergang zu den Bruchzahlen birgt große Schwierigkeiten für die Lernenden: es gibt z. B. keinen Vorgänger oder keinen Nachfolger einer Zahl, schon die Grundrechnungsarten sind ganz anders als bei den natürlichen Zahlen durchzuführen. Und die reellen Zahlen? Was ist an ihnen so besonderes? Antwort darauf gibt die (Schulmathematik) Analysis, darauf kann in der Vorlesung also nur kurz eingegangen werden.

Die elementare Algebra gehört neben dem Bruchrechnen und der Geometrie zu den zentralen Inhalten, die in der AHS-Unterstufe im Mathematikunterricht in der vermittelt werden. Die Fähigkeit, mit "Buchstaben rechnen zu können", ist universell in der Mathematik, egal auf welchem Niveau man sie betreibt. Gleichzeitig verliert die Mathematik so ihre "Unschuld", soll heißen, der Schritt vom Konkreten zum Abstrakten wird hier vollzogen und niemals wieder rückgängig gemacht. Ganz im Gegenteil, eines der Charakteristika der Mathematik ist damit der Allgemeinbildung zugeführt worden. In der Vorlesung soll dieser Schritt zur Abstraktion besonders thematisiert werden, insbesonders unter Berücksichtigung der Schwierigkeiten, die dabei auftreten (können), in der Literatur bekannt als "Schülerfehler in der Algebra". Das Erkennen von Termstrukturen (und das danach Handeln) ist der Schlüssel zum erfolgreichen algebraischen Manipulieren (neben einer gewissen Routine, das ist aber nicht --- in erster Linie wenigstens! --- themenspezifisch). Daneben muss der Einsatz von Computeralgebrasystemen im Mathematikunterricht diskutiert werden. So wird der Bogen bis in die AHS-Oberstufe mit ihrem Abschluss, der (schriftlichen) Reifeprüfung, gespannt werden.

Ausgangspunkt unserer Überlegungen wird natürlich immer der derzeit gültige österreichische Lehrplan sein.

Kapitelüberschriften:
1 Wozu Algebra in der Schule?
2 Ewiger Kalender
3 Konzepte zur Behandlung der Bruchrechnung
4 Grundvorstellungen zu Brüchen
5 Zur Einführung von Brüchen und Bruchzahlen
6 Variable
7 Rechnen mit Brüchen
8 Lineare diophantische Gleichungen in zwei Variablen
9 Ganze Zahlen
10 Erkennen von Termstrukturen, Umformungsregeln

Methode: In der Vorlesung wird anhand von unterschiedlichen (Unterrichts-)Beispielen hauptsächlich aus der Sekundarstufe 1 (z. B. Multiplizieren zweier Brüche, Textaufgaben) das Spannungsfeld zwischen abstrakter Algebra und konkreter Arithmetik illustriert, analysiert, diskutiert und reflektiert.