250111 VO Ausgewählte Kapitel aus Funktionalanalysis: Rieszräume (2013S)

Viele der in der Praxis auftretenden Vektorräume über dem Körper der reellen Zahlen haben eine "natürlich" gegebene Ordnungsstruktur, etwa die gängigen Folgenräume, die Räume (stetiger, beschränkter, integrierbarer) reellwertiger Funktionen. Schon in den Einführungsvorlesungen werden die Begriffe des Vektorraums und der (partiell) geordneten Menge erklärt und axiomatisiert, in der
Linearen Algebra und in vielen Vorlesungen über Funktionalanalysis wird jedoch meist nicht auf das Zusammenspiel dieser beiden Strukturen eingegangen.

Wie für "kombinierte" Strukturen üblich, besteht die axiomatische Basis für geordnete Vektorräume aus den Vektorraum- und den Ordnungsaxiomen sowie aus entsprechenden Axiomen der Verträglichkeit dieser beiden Strukturen.

Ein Rieszraum ist nun ein geordneter Vektorraum, der als geordneter Raum sogar ein Verband ist, d.h. zu je zwei Elementen ein Supremum und ein Infimum besitzt. Die oben angeführten Beispiele
sind bezüglich ihrer natürlichen Ordnungsstruktur Rieszräume. In der Vorlesung soll die Theorie der Riesräume und der "passenden" (=positiven linearen) Operatoren darauf in ihren Anfangsgründen
dargestellt und mit Beispielen illustriert werden. Gegen Ende des Semesters möchte ich ein wenig über topologische beziehungsweise lokalkonvexe Rieszräume sprechen: Hier wird noch eine dritte Struktur, nämlich eine mit Vektorraumstruktur und Ordnungsstruktur verträgliche Topologie in die Betrachtung einbezogen.

An Vorkenntnissen reichen im wesentlichen Lineare Algebra und Reelle Analysis; Funktionalanalysis erleichtert manches, ist aber nicht unbedingt notwendig - bis auf den allerletzten Teil, in dem Topolologische Vektorräume auftreten. Dieser gehört aber nicht zum Prüfungsstoff.