250124 VO Topics from number theory (2019S)

Analog zum Ring der ganzen Zahlen $Z$ ist auch der Polynomring $F[T]$ in einer Variablen über einem (endlichen) Körper $F$ ein faktorieller Ring in dem jedes Primideal ungleich $(0)$ maximal ist. Der Quotientenkörper $F(T)$ ist daher eine Analogon zum Körper der rationalen Zahlen $Q$. Allgemeiner definiert man in Analogie zu den Zahlkörpern einen Algebraischen Funktionenkörper als eine endliche Erweiterung von $F(T)$. Funktionenkörper lassen sich mit Methoden der algebraichen Zahlentheorie studieren (ihre Ganzheitsringe sind ebenfalls Dedekindringe), sie haben aber auch eine geometrische Interpretation als algebraische Kurve,
was die Verwendung geometrischer Methoden ermöglicht. Allgemein erwartet man, dass Theoreme über Zahlkörper ein Analogon für Funktionenkörper haben, das sogar einfacher zu beweisen ist.

In der Vorlesung wollen Funktionenkörper zunächst mit zahlentheoretischen Methoden studieren, was z.B. zu einem Analogon der höheren Reziprozitätsgesetze oder des Primzahlsatzes in Funktionenkörpern führt. Danach wollen wir die geometrische Interpretation betrachten; insbesondere soll Hurwitz' Formel für das Geschlecht eines Funktionenkörpers sowie der Satz von Riemann-Roch mit seinen zahlreichen Anwendungen z.B. auf die Zetafunktion eines Funktionenkörpers behandelt werden. Wenn Zeit bleibt können wir auch auf Analoga des Satzes von Riemann Roch für Zahlkörper eingehen.

Funktionenkörper haben Anwendungen auf die Konstruktion effizienter Codes ("algebro-geometrische Codes") und falls Zeit bleibt können wir auf den Zusammenhang eingehen.

Die Vorlesung schliesst an "Algebraische Zahlentheorie" aus dem WS an und Grundkenntnisse aus Algebraischer Zahlentheorie werden vorausgesetzt.