Universität Wien
Achtung! Das Lehrangebot ist noch nicht vollständig und wird bis Semesterbeginn laufend ergänzt.

250251 VO Maß und Integrationstheorie (2007W)

7.00 ECTS (4.00 SWS), SPL 25 - Mathematik

Details

Sprache: Deutsch

Lehrende

Termine (iCal) - nächster Termin ist mit N markiert

  • Mittwoch 03.10. 11:00 - 13:00 Seminarraum
  • Donnerstag 04.10. 08:00 - 10:00 Seminarraum
  • Mittwoch 10.10. 11:00 - 13:00 Seminarraum
  • Donnerstag 11.10. 08:00 - 10:00 Seminarraum
  • Mittwoch 17.10. 11:00 - 13:00 Seminarraum
  • Donnerstag 18.10. 08:00 - 10:00 Seminarraum
  • Mittwoch 24.10. 11:00 - 13:00 Seminarraum
  • Donnerstag 25.10. 08:00 - 10:00 Seminarraum
  • Mittwoch 31.10. 11:00 - 13:00 Seminarraum
  • Mittwoch 07.11. 11:00 - 13:00 Seminarraum
  • Donnerstag 08.11. 08:00 - 10:00 Seminarraum
  • Mittwoch 14.11. 11:00 - 13:00 Seminarraum
  • Donnerstag 15.11. 08:00 - 10:00 Seminarraum
  • Mittwoch 21.11. 11:00 - 13:00 Seminarraum
  • Donnerstag 22.11. 08:00 - 10:00 Seminarraum
  • Mittwoch 28.11. 11:00 - 13:00 Seminarraum
  • Donnerstag 29.11. 08:00 - 10:00 Seminarraum
  • Mittwoch 05.12. 11:00 - 13:00 Seminarraum
  • Donnerstag 06.12. 08:00 - 10:00 Seminarraum
  • Mittwoch 12.12. 11:00 - 13:00 Seminarraum
  • Donnerstag 13.12. 08:00 - 10:00 Seminarraum
  • Mittwoch 09.01. 11:00 - 13:00 Seminarraum
  • Donnerstag 10.01. 08:00 - 10:00 Seminarraum
  • Mittwoch 16.01. 11:00 - 13:00 Seminarraum
  • Donnerstag 17.01. 08:00 - 10:00 Seminarraum
  • Mittwoch 23.01. 11:00 - 13:00 Seminarraum
  • Donnerstag 24.01. 08:00 - 10:00 Seminarraum
  • Mittwoch 30.01. 11:00 - 13:00 Seminarraum
  • Donnerstag 31.01. 08:00 - 10:00 Seminarraum

Information

Ziele, Inhalte und Methode der Lehrveranstaltung

Der aus den Einführungsvorlesungen bekannte Riemannsche Integralbegriff ist zwar für die explizite Rechnungen sehr nützlich (vor allem wegen seiner engen Beziehung zur Differentiation),
hat aber auch schwerwiegende Nachteile. So ist zum Beispiel die Vertauschung von Integral und Limes beim Riemann Integral nur unter sehr speziellen Voraussetzungen möglich.
Ein weiterer Nachteil des Riemannschen Integrals ist die relativ kleine Klasse von Funktionen,
die damit behandelt werden können.

Neue Entwicklungen in der Analysis (vor allem in der Theorie der Fourierreihen) machten um
1900 einen allgemeineren und leistungsfähigeren Integralbegriff notwendig, der schließlich von
Lebesgue in seiner im Wesentlichen heute noch gültigen Form entwickelt wurde. Der prinzipielle
Unterschied zwischen dem Riemannschen und dem Lebesgueschen Integralbegriff läßt sich sehr
einfach beschreiben: während beim Riemann Integral der Deffinitionsbereich der Funktion in
kleine Intervalle zerlegt wird, um so zu einer Approximation des Integrals zu kommen, wird beim Lebesgue Integral der Wertebereich der Funktion zerlegt. Das erfordert natürlich ein Konzept der Gruppe (oder des `Maßes') von Mengen, die unter Umständen von sehr komplizierter Bauart sind.

Mit Hilfe eines entsprechenden Begriffs des Maßes einer Menge führt nun diese Idee der Unterteilung des Wertebereichs einer Funktion zu einem abstrakten Integralbegriff, der für fast alle Aspekte der modernen Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie grundlegend ist.

Hier sind einige Themen der Vorlesung:

1. Mengenfunktionen und Maße,
2. Meßbare Funktionen,
3. Das Lebesguesche Integral,
4. Grenzwertsumsätze und die Vertauschbarkeit von Limes und Integral,
5. Der Satz von Fubini (wichtig für Integrale von Funktionen in mehreren Variablen),
6. Der Satz von Radon-Nikodym (wichtig für `Vergleiche' von verschiedenen Maßen),
7. Maße auf speziellen Räumen:
(a) Das Lebesguesche Maß auf Rn: Zusammenhang mit dem Riemann Integral, Lebesgue-Stieltjes Integral, Differentiation und Integration,
(b) Das Integral als lineares Funktional: der Satz von Riesz über Maße auf kompakten Räumen,
8. Räume integrierbarer Funktionen (Lp-Räume),
9. Wahrscheinlichkeitsmaße und elementare Wahrscheinlichkeitstheorie.

Art der Leistungskontrolle und erlaubte Hilfsmittel

Mindestanforderungen und Beurteilungsmaßstab

Prüfungsstoff

Literatur

1. Taylor, J. C. An introduction to measure and probability. Springer-Verlag, New York, 1997. xviii+299 pp. ISBN: 0-387-94830-9
2. Stroock, Daniel W. A concise introduction to the theory of integration. Second edition. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1994. viii+184 pp. ISBN: 0-8176-3759-1
3. Bauer, Heinz. Maß- und Integrationstheorie. Second edition. de Gruyter Lehrbuch. [de Gruyter Textbook] Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1992. xviii+260 pp. ISBN: 3-11-013626-0
4. Rudin, Walter. Real and complex analysis. Third edition. McGraw-Hill Book Co., New York, 1987. xiv+416 pp. ISBN: 0-07-054234-1

Zuordnung im Vorlesungsverzeichnis

MSTM

Letzte Änderung: Mo 07.09.2020 15:40